在准备ACM比赛的过程中，研究了图论中一些算法。首先研究的便是最短路的问题。《离散数学》第四版（清华大学出版社）一书中讲解的Dijkstra算法是我首先研究的源材料。

      如何求图中V0到V5的最短路径呢？

        java实现的方式如下： 

       第一步，根据图来建立权值矩阵：

       int[][] W = { 

    {  0,   1,   4,  -1,  -1,  -1 },     {  1,   0,   2,   7,    5,  -1 },     {  4,   2,   0,  -1,    1,  -1 },     { -1,  7,  -1,   0,    3,    2 },     { -1,  5,    1,   3,   0,    6 },     { -1, -1,  -1,   2,   6,    0 } };(-1表示两边不相邻,权值无限大)

例如：W[0][2]=4 表示点V0到点V2的权值为4

W[0][3]=-1表示点V0与V3不相邻，所以权值无限大。

第二步：对V0标号；V0到其它点的路径得到 distance: {

0,1,4,-1,-1,-1}; 找到V0到各点中权值最小的那个点（标号的点除外,-1代表无限大），故得到1即对应的下标1，得到V1；对V1标号，然后更改V0通过V1到其它点的路径得到 distance: { 0, 1, 3, 8, 6, -1}; 

第三步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）得到V2,对V2标号，然后更改V0通过V1->V2到其它点的路径得到 distance: { 0, 1, 3, 8, 4, -1}; 

第四步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）得到V4,对V4标号，然后更改V0通过V1->V2到其它点的路径得到 distance: { 0, 1, 3, 7, 4, 10}; 

第四步：找到distance中权值最小的那个点，（标号的点除外）得到V3,对V3标号，然后更改V0通过V1->V2到其它点的路径得到 distance: { 0, 1, 3, 7, 4, 9}; 

最后只剩下V5没有被标号，就找到V5了。结束！

源代码如下：

1. package com.xh.Dijkstra;  
2.  
3. //这个算法用来解决无向图中任意两点的最短路径  
4. public class ShortestDistanceOfTwoPoint_V5 {  
5.     public static int dijkstra(int[][] W1, int start, int end) {  
6.         boolean[] isLabel = new boolean[W1[0].length];// 是否标号  
7.         int[] indexs = new int[W1[0].length];// 所有标号的点的下标集合，以标号的先后顺序进行存储，实际上是一个以数组表示的栈  
8.         int i_count = -1;//栈的顶点  
9.         int[] distance = W1[start].clone();// v0到各点的最短距离的初始值  
10.         int index = start;// 从初始点开始  
11.         int presentShortest = 0;//当前临时最短距离  
12.  
13.         indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中  
14.         isLabel[index] = true;  
15.           
16.         while (i_count<W1[0].length) {  
17.             // 第一步：标号v0,即w[0][0]找到距离v0最近的点  
18.  
19.             int min = Integer.MAX_VALUE;  
20.             for (int i = 0; i < distance.length; i++) {  
21.                 if (!isLabel[i] && distance[i] != -1 && i != index) {  
22.                     // 如果到这个点有边,并且没有被标号  
23.                     if (distance[i] < min) {  
24.                         min = distance[i];  
25.                         index = i;// 把下标改为当前下标  
26.                     }  
27.                 }  
28.             }  
29.             if (index == end) {
    //已经找到当前点了，就结束程序  
30.                 break;  
31.             }  
32.             isLabel[index] = true;//对点进行标号  
33.             indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中  
34.             if (W1[indexs[i_count - 1]][index] == -1 
35.                     || presentShortest + W1[indexs[i_count - 1]][index] > distance[index]) {  
36.                 // 如果两个点没有直接相连，或者两个点的路径大于最短路径  
37.                 presentShortest = distance[index];  
38.             } else {  
39.                 presentShortest += W1[indexs[i_count - 1]][index];  
40.             }  
41.  
42.             // 第二步：将distance中的距离加入vi  
43.             for (int i = 0; i < distance.length; i++) {  
44.                 // 如果vi到那个点有边，则v0到后面点的距离加  
45.                 if (distance[i] == -1 && W1[index][i] != -1) {
    // 如果以前不可达，则现在可达了  
46.                     distance[i] = presentShortest + W1[index][i];  
47.                 } else if (W1[index][i] != -1 
48.                         && presentShortest + W1[index][i] < distance[i]) {  
49.                     // 如果以前可达，但现在的路径比以前更短，则更换成更短的路径  
50.                     distance[i] = presentShortest + W1[index][i];  
51.                 }  
52.  
53.             }  
54.         }  
55.         //如果全部点都遍历完，则distance中存储的是开始点到各个点的最短路径  
56.         return distance[end] - distance[start];  
57.     }  
58.     public static void main(String[] args) {  
59.         // 建立一个权值矩阵  
60.         int[][] W1 = { //测试数据1  
61.                 { 0, 1, 4, -1, -1, -1 },  
62.                 { 1, 0, 2, 7, 5, -1 },  
63.                 { 4, 2, 0, -1, 1, -1 },   
64.                 { -1, 7, -1, 0, 3, 2 },  
65.                 { -1, 5, 1, 3, 0, 6 },   
66.                 { -1, -1, -1, 2, 6, 0 } };  
67.         int[][] W = { //测试数据2  
68.                 { 0, 1, 3, 4 },  
69.                 { 1, 0, 2, -1 },  
70.                 { 3, 2, 0, 5 },  
71.                 { 4, -1, 5, 0 } };  
72.  
73.         System.out.println(dijkstra(W1, 0,4));  
74.  
75.     }  
76. }  

如果需要求无向图各个点的最短距离矩阵，则多次运用dijkstra算法就可以了，代码如下：

1. package com.xh.Dijkstra;  
2.  
3. //这个程序用来求得一个图的最短路径矩阵  
4. public class ShortestDistance_V4 {  
5.     public static int dijkstra(int[][] W1, int start, int end) {  
6.         boolean[] isLabel = new boolean[W1[0].length];// 是否标号  
7.         int min = Integer.MAX_VALUE;  
8.         int[] indexs = new int[W1[0].length];// 所有标号的点的下标集合  
9.         int i_count = -1;  
10.         int index = start;// 从初始点开始  
11.         int presentShortest = 0;  
12.         int[] distance = W1[start].clone();// v0到各点的最短距离的初始值  
13.         indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中  
14.         isLabel[index] = true;  
15.         while (true) {  
16.             // 第一步：标号v0,即w[0][0]找到距离v0最近的点  
17.  
18.             min = Integer.MAX_VALUE;  
19.             for (int i = 0; i < distance.length; i++) {  
20.                 if (!isLabel[i] && distance[i] != -1 && i != index) {  
21.                     // 如果到这个点有边,并且没有被标号  
22.                     if (distance[i] < min) {  
23.                         min = distance[i];  
24.                         index = i;// 把下标改为当前下标  
25.                     }  
26.                 }  
27.             }  
28.             if (index == end) {  
29.                 break;  
30.             }  
31.             isLabel[index] = true;  
32.             indexs[++i_count] = index;// 把已经标号的下标存入下标集中  
33.             if (W1[indexs[i_count - 1]][index] == -1 
34.                     || presentShortest + W1[indexs[i_count - 1]][index] > distance[index]) {  
35.                 presentShortest = distance[index];  
36.             } else {  
37.                 presentShortest += W1[indexs[i_count - 1]][index];  
38.             }  
39.  
40.             // 第二步：奖distance中的距离加入vi  
41.             for (int i = 0; i < distance.length; i++) {  
42.                 // 如果vi到那个点有边，则v0到后面点的距离加  
43.                 // 程序到这里是有问题滴！ 呵呵  
44.                 if (distance[i] == -1 && W1[index][i] != -1) {
    // 如果以前不可达，则现在可达了  
45.                     distance[i] = presentShortest + W1[index][i];  
46.                 } else if (W1[index][i] != -1 
47.                         && presentShortest + W1[index][i] < distance[i]) {  
48.                     // 如果以前可达，但现在的路径比以前更短，则更换成更短的路径  
49.                     distance[i] = presentShortest + W1[index][i];  
50.                 }  
51.  
52.             }  
53.         }  
54.         return distance[end] - distance[start];  
55.     }  
56.    
57.     public static int[][] getShortestPathMatrix(int[][] W) {  
58.         int[][] SPM = new int[W.length][W.length];  
59.         //多次利用dijkstra算法  
60.         for (int i = 0; i < W.length; i++) {  
61.             for (int j = i + 1; j < W.length; j++) {  
62.                 SPM[i][j] =dijkstra(W, i, j);  
63.                 SPM[j][i] = SPM[i][j];  
64.             }  
65.         }  
66.         return SPM;  
67.     }  
68.  
69.     public static void main(String[] args) {  
70.         /* 顶点集：V={v1,v2,……，vn} */ 
71.         int[][] W = { { 0, 1, 3, 4 }, { 1, 0, 2, -1 }, { 3, 2, 0, 5 },  
72.                 { 4, -1, 5, 0 } };  
73.         int[][] W1 = { { 0, 1, 4, -1, -1, -1 }, { 1, 0, 2, 7, 5, -1 },  
74.                 { 4, 2, 0, -1, 1, -1 }, { -1, 7, -1, 0, 3, 2 },  
75.                 { -1, 5, 1, 3, 0, 6 }, { -1, -1, -1, 2, 6, 0 } };// 建立一个权值矩阵  
76.         ;// 建立一个权值矩阵  
77.         int[][] D = getShortestPathMatrix(W1);  
78.         //输出最后的结果  
79.         for (int i = 0; i < D.length; i++) {  
80.             for (int j = 0; j < D[i].length; j++) {  
81.                 System.out.print(D[i][j] + " ");  
82.             }  
83.             System.out.println();  
84.         }  
85.     }  
86. }  

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